ルートの中の整数を簡単にして出来るだけ小さい平方根にする足し算や引き算の計算の仕方って? 

ルートの足し算や引き算って慣れるまではなかなか難しいものです。

ルートは文字だと思っていたら、√8を2√2にできるようにルートの中の数をいじることができたり、√4を2にできるようにルートを消せてみたり・・・

ルートの付いた数は文字のような数字のような性質を持った数に見えます。

今回の記事では、ルートの中の整数を簡単にして計算する加減法のやり方について書いてみたいと思います。

ルートの中の整数を簡単にして計算する加減法ってどうするの?

それでは例題を使って考えてみましょう。

例題
次の計算をしましょう。
(1)\(\sqrt{18}+2\sqrt{2}\)
(2)\(\sqrt{48}-7\sqrt{3}\)
(3)\(\sqrt{12}+2\sqrt{8}-\sqrt{18}-\sqrt{27}\)

(1)\(\sqrt{18}+2\sqrt{2}\)を解いていきます。
まずは\(\sqrt{18}\)のルートの中身を小さくすることからやってみましょう。
18は\(3^2\times 2\)となるので、\(3\sqrt{2}\)となります。
もし、ルートの中身を小さくすることに、ピンと来ないときはこちらを見てみてくださいね。
ルートの中身が大きい数の時に小さくする計算は素因数分解しないとだめ?

18を\(3\sqrt{2}\)に変えると、(1)の式は、\(3\sqrt{2}+2\sqrt{2}\)となります。
ルートの中が、2と揃ったので、計算することができるようになりました。
計算すると答えは、\(5\sqrt{2}\)となります。

足し算や引き算の時は、まずはルートの中を小さくする!

ルートは、見た目ではどんな数か想像がつきにくい数です。
特に、ルートの足し算や引き算では、計算できるのか分かりにくいです。
例えば、先ほどの(1)\(\sqrt{18}+2\sqrt{2}\)の式の\(\sqrt{18}\)と\(\sqrt{2}\)を見て、計算できるかどうか、項をまとめることができるかどうか判断するのは難しいです。1)慣れてくると\(\sqrt{18}\)くらいであれば、見ただけで\(3\sqrt{2}\)と分かるかもしれませんね。その場合でも実質\(\sqrt{18}\)を\(3\sqrt{2}\)に頭の中ではなおしているので、結局はルートの中をできるだけ小さな数にしないと判断は難しいと思います。

そのため、まずはルートの中を小さくすることが、うまくルートのある加法や減法をするコツです。
まずルートを見かけたら、なるべく小さな数にすることがおすすめですよ。
それに慣れたら、うまく楽に計算する方法を考えてもいいかもしれませんね。
そうは言っても足し算、引き算では、ルートの中を小さくするしか方法がないことが多いので、あくまでルートの中をなるべく小さな自然数にするのが計算のコツです。

それでは(2)\(\sqrt{48}-7\sqrt{3}\)をみていきましょう。
まずはルートの中を小さくしましょう。
前の項の48は、\(4^2\times 3\)なので、\(\sqrt{48}\)は、\(4\sqrt{3}\)になおすことができます。
計算すると、(2)\(\sqrt{48}-7\sqrt{3}=4\sqrt{3}-7\sqrt{3}=-3\sqrt{3}\)となります。

さらに(3)\(\sqrt{12}+2\sqrt{8}-\sqrt{18}-\sqrt{27}\)を計算してみましょう。
なんだかややこしいですね。
項がたくさんあるので難しく見えますが、まずは基本通りルートの中をより小さな数にしましょう。
\(\sqrt{12}+2\sqrt{8}-\sqrt{18}-\sqrt{27}=2\sqrt{3}+4\sqrt{2}-3\sqrt{2}-3\sqrt{3}\)2)最初の項は\(12=2^2\times 3\)なので2を前にだし、次の項は\(8=2^2\times 2\)なので2を前にだし、次の項は\(18=3^2\times 2\)なので3を前にだし、最後の項は\(27=3^2\times 3\)なので3を前にだします。となります。
あとは項をまとめれば、出来上がりです。
答えは、\(\sqrt{2}-\sqrt{3}\)となりました。

ルートのある足し算や引き算の基本はルートの中をなるべく小さな数にするのが大切ですね。
ルートの中をなるべく小さな数にしないと計算ができるのかできないのか、分からないのでココは忘れないようにしましょう。

練習問題

1、\(\sqrt{7}+\sqrt{28}\)

2、\(\sqrt{45}-2\sqrt{5}\)

3、\(\sqrt{144}-\sqrt{9}+2\sqrt{4}\)

4、\(10\sqrt{5}+3\sqrt{2}-2\sqrt{45}\)

5、\(2\sqrt{8}+3\sqrt{24}-7\sqrt{42}-12\sqrt{6}\)

解答・解説

1、\(3\sqrt{7}\)

2、\(\sqrt{5}\)

3、13

4、\(4\sqrt{5}+3\sqrt{2}\)

5、\(4\sqrt{2}-7\sqrt{42}\)

まとめ

今回の記事では、ルートの中の整数を簡単にして計算する加減法のやり方について書いてみました。
ルートのある足し算や引き算をする際に何が大事かと言えば、まずはルートの中を小さくすることです。
これを忘れてしまったは計算をしようにも、計算ができるのか、できないのか判断することが難しいです。
ルートのある加法や減法のときは、ルートの中を迷わず小さくするようにすれば、あとは楽に計算できるのではないでしょうか。

References   [ + ]

1. 慣れてくると\(\sqrt{18}\)くらいであれば、見ただけで\(3\sqrt{2}\)と分かるかもしれませんね。その場合でも実質\(\sqrt{18}\)を\(3\sqrt{2}\)に頭の中ではなおしているので、結局はルートの中をできるだけ小さな数にしないと判断は難しいと思います。
2. 最初の項は\(12=2^2\times 3\)なので2を前にだし、次の項は\(8=2^2\times 2\)なので2を前にだし、次の項は\(18=3^2\times 2\)なので3を前にだし、最後の項は\(27=3^2\times 3\)なので3を前にだします。

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