ルートの掛け算の計算の仕方のコツ

ルートついた数の計算は慣れるまではなかなか難しいものです。

今回の記事では、ルートのある数の掛け算の計算のコツについて書いてみたいと思います。

 平方根の掛け算の計算をするときのコツ

それでは早速例題を使って考えてみましょう。

例題
次の計算をしましょう。
(1)\(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\)
(2)\(\sqrt{12}\times \sqrt{8}\)
(3)\(\sqrt{4}\times \sqrt{7}\)
(4)\(\sqrt{15}\times \sqrt{10}\)

(1)\(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\)から見ていきましょう。
これはそのまま掛けるだけで大丈夫ですね。
(1)\(\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{6}\)

このようにルートの中身を掛ければいいというのは、$$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$$という公式からも分かりますよね。
基本的にはこれでOKなのですが、ルートの掛け算は普通の掛け算のように掛けてルートを付ければいいというように考えてしまうと、計算が大変になっていきます。
ルートの計算のコツを見てきます。

ルートの中身はなるべく小さな数にしよう

(2)\(\sqrt{12}\times \sqrt{8}\)を見ていきましょう。
基本的には素因数分解でいいと思います。1)素因数分解をする目的はルートの中身を小さくすることです。ルートの外に数を出すことができると計算しやすくなります。素数の2乗がルートの中にあれば、ルートの外に数を出だすことができます。要するに2乗の数があるかないかが重要になるので、2の2乗の数の4や3の2乗の9のような数を因数として持つかを確認することですると効率よく計算することができます。
ルートの中身を小さくする計算は素因数分解じゃないとだめ?
12を素因数分解すると、\(2^2\times 3\)となります。
また8を素因数分解すると、\(2^3\)となります。
同じ数を2回掛けると、ルートの前にその数を出すことができるので、
(2)\(\sqrt{12}\times \sqrt{8}\)
\(=2\sqrt{3}\times 2\sqrt{2}\)
\(=4\sqrt{6}\)
となります。
素因数分解のコツや素因数の探し方

この計算でルートの中身を小さくすることなく計算すると、
(2)\(\sqrt{12}\times \sqrt{8}=\sqrt{96}\)
となってしまい、ルートの中の数が大きくなってしまいました。
この中の数が大きくなってしまうと素因数分解をするのも大変なので、基本的には計算の最初にルートの中身を小さな数にしておくと計算しやすくなります。

ルートがついていても実は整数ということも

(3)\(\sqrt{4}\times \sqrt{7}\)
この計算では、\(\sqrt{4}\)は2なので、
(3)\(\sqrt{4}\times \sqrt{7}\)
\(=2\times \sqrt{7}\)
\(=2\sqrt{7}\)

となります。
ルートの中身をなるべく小さな数にして計算するということを意識していないと、一旦\(\sqrt{28}\)となってしまうので計算が煩雑になるだけでなく、ルートの計算に不慣れな中学3年生だとそのまま答えを\(\sqrt{28}\)と書いてしまうこともあります。
まずは、ルートの中身をなるべく小さな数にすることがおすすめです。

ルートの中身は因数分解すると計算ミスを減らせる!

(4)\(\sqrt{15}\times \sqrt{10}\)
この計算をすると、\(\sqrt{150}\)として、素因数分解をする子が多くいます。
まだここから素因数分解をして答えにたどり着ければまだいいのですが、そのまま答えとしてしまう子もいます。

今までのルートの中身をなるべく小さくして計算するという原則から考えると、\(\sqrt{15}\)も\(\sqrt{10}\)もこれ以上ルートの中身を小さくすることはできません。
そのため、\(\sqrt{150}\)として素因数分解するというのは楽に計算しているように見えるのですが、こんな時もちょっとした一工夫で楽に計算をすることができます。

この時は15を\(3\times 5\)、10を\(2\times 5\)とみます。
すると、\(\sqrt{15}\)にも、\(\sqrt{10}\)にも5という因数があります。
ということは、\(15\times 10\)には5の2乗が隠れているので、計算する前に5をルートの外にくくりだしてしまいます。
すると、この時の答えは\(5\sqrt{6}\)と暗算でも随分と計算しやすくなります。

まとめ

今回の記事では、ルートのある数の掛け算の計算のコツについて書いてみました。
ルートの掛け算の計算で楽に計算するコツは2つです。

1つ目は、「ルートの中身はなるべく小さな数にする」
2つ目は、「掛ける数同士でも2乗になる因数を探す」

このことを意識しなくても一応は計算をすることができます。
しかし、途中式がややこしくなってしまったり、途中の数字がとても大きくなってしまったりと計算しずらくなってしまうこともあります。
また、場合によってはうまく計算しないことでルートの中身が7桁のように大きくなってしまうと素因数分解をするのにも一苦労なんてことも…
そんなことにならないように、きちんとルートの掛け算の計算のコツをつかめると後々の計算が楽になりますよ。

References   [ + ]

1. 素因数分解をする目的はルートの中身を小さくすることです。ルートの外に数を出すことができると計算しやすくなります。素数の2乗がルートの中にあれば、ルートの外に数を出だすことができます。要するに2乗の数があるかないかが重要になるので、2の2乗の数の4や3の2乗の9のような数を因数として持つかを確認することですると効率よく計算することができます。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください