xの項がないときの2次方程式の解き方

2次方程式の解き方は色々な解き方があります。

今回の記事では、\(x^2=4\)のような\(x\)の項のない二次方程式の解き方について書いてみたいと思います。

 xの項がないとき2次方程式の解き方

\(x\)の項のない2次方程式の解き方を例題を使って説明していきたいと思います。

例題
次の計算をしましょう。
(1)\(x^2=4\)
(2)\(2x^2=4\)
(3)\(x^2-9=0\)
(4)\(5x^2-6=0\)
(5)\( (x-2)^2=4)\)
(6)\( 3(x+5)^2=2\)

それでは順番に\(2\)次方程式を解いていきます。
(1) \(x^2=4\)は\(x\)を\(2\)回掛けると\(4\)になるので、\(x\)は\(4\)の平方根となるので、\(x=\pm 2\)となります。
平方根がよく分からないというときは先にこちらを読んでみてください。
平方根の意味って?

(2)\(2x^2=4\)を解きましょう。
(1)との違いは、\(x^2\)に係数の\(2\)がついたところです。
こういうときはまずは、\(x^2=_\)のような形にすることを目指します。
まずは両辺を\(\frac{1}{2}\)倍します。
\(x^2=2\)となります。
つまり答えは、\(x^2=\pm \sqrt{2}\)となります。
平方根は整数でないこともあります。
そんな時は、ルートを使って書きます。
この時も\(\pm\)を忘れないように気を付けましょう。

(3)\(x^2-9=0\)を解きます。
今度は左辺に\(2\)つの項がでてきました。
\(x\)の項がないので、\(x^2=_\)の形を作り計算します。
\(x^2=9\)
\(x=\pm 3\)1)因数分解を使った解き方を習ったあとであれば、\( (x+3)(x-3)=0\)と左辺を変形して、\(x=\pm 3\)とすることが多いと思います。もちろんどちらのやり方もOKです。解き方の指定がある時はその解き方に従うといいと思います。

(4)\(5x^2-6=0\)を解いていきます。
\(x\)の項がないので、\(x^2=_\)の形にしていきます。
\(x^2=\frac{6}{5}\)
\(x=\pm \sqrt{\frac{6}{5}}\)となります。
分母がルートの分数で答えを書いてはだめなので、分母を有理化します。
分母と分子に、\(\sqrt{5}\)を掛けて、分母を有理化すると、
\(x=\frac{\sqrt{30}}{5}\)となります。
分母を有理化しておかないと不正解にされてしまうので、分母の有理化を忘れないように気を付けてください。2)受験の時は分母にルートがあっても正解としているという高校も見たことがありますが、基本的には不正解と思っておく方がいいです。

分母の有理化がよくわからないときはこちらを見てみてください。
有理化を忘れてしまった、有理化が出来ないから不正解になってしまったり、減点されてしまったりするのはもったいないですよ。
分数の有理化の仕方とは?

(5)\( (x-2)^2=4\)を解いてみましょう。
今までとは形が違うように見えますが、解き方は今までの例題と違いはあまりありません。
この式の意味は\( (x-2)\)を\(2\)回掛けると\(4\)になるので、\(x-2=\pm 2\)となります。3)分かりにくいときは\(x-2=A\)と置いて計算すると分かりやすいかもしれません。\(x-2=A\)とおくと\(A^2=4\)となるので、\(A=\pm 2\)、\(A\)を元に戻して\(x-2=\pm 2\)となります。
あとは、左辺の\(-2\)を右辺に移項します。
\(x=\pm 2+2\)という感じになりそうですが、それぞれ計算ができるときは計算しないといけません。
それぞれ計算すると、\(x=+2-2,-2-2\)となるので、答えは\(x=0,-4\)となります。

(6)\( 3(x+5)^2=2\)を解いてみましょう。
(5)と比べると頭についた\(3\)が増えました。
ただこの3がなければ(5)と同じように解けるということでもあります。
それではこの3を移項してしまいましょう。
両辺に\(\frac{1}{3}\)を掛けると、
\( (x+5)^2=\frac{2}{3}\)となります。
さらに計算をすると、
\(x+5=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\)
右辺の分母を有理化すると、
\(x+5=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
あとは左辺の\(+5\)を移項して、
\(x=-5\pm \frac{\sqrt{6}}{3}\)
となります。

この時はもう計算することができないので、計算をする必要はありません。
もちろん\(x=-5+\frac{\sqrt{6}}{3},-5-\frac{\sqrt{6}}{3}\)とかいてもOKです。

まとめ

今回の記事では、\(x^2=4\)のような\(x\)の項のない二次方程式の解き方について書いてみました。
計算の仕方そのものそんなに難しくないと思います。
項ごとにみると\(x^2\)の項と定数項のみからできているので、\(x^2\)の項を左辺に、定数項を右辺にもっていけばOKです。
あとは\(x\)の平方根を求めてしまえば終わりです。

この時に注意することは分母にルートのついた数を置かないということです。
分母にルートのついて数があると不正解となってしまいます。
分母にルートのついた数がある時は必ず、分母を有理化するようにしてくださいね。

References   [ + ]

1. 因数分解を使った解き方を習ったあとであれば、\( (x+3)(x-3)=0\)と左辺を変形して、\(x=\pm 3\)とすることが多いと思います。もちろんどちらのやり方もOKです。解き方の指定がある時はその解き方に従うといいと思います。
2. 受験の時は分母にルートがあっても正解としているという高校も見たことがありますが、基本的には不正解と思っておく方がいいです。
3. 分かりにくいときは\(x-2=A\)と置いて計算すると分かりやすいかもしれません。\(x-2=A\)とおくと\(A^2=4\)となるので、\(A=\pm 2\)、\(A\)を元に戻して\(x-2=\pm 2\)となります。