中学で習う二次方程式の因数分解を利用した解き方のコツは?

2次方程式の解き方は大きく分けて、2つ因数分解を使った解き方と解の公式を使った解き方があります。

今回の記事では、前者の2次方程式の因数分解を使った解き方について書いてみたいと思います。

中学で学習する2次方程式の因数分解を利用した解き方とそのコツ

二次方程式の解き方を例題を用いて解いていきましょう。

例題
次の二次方程式を解きましょう。
(1)\(x^2-2x=0\)
(2)\(x^2+x-5=0\)
(3)\(x^2-10x+25=0\)
(4)\(x^2-4=0\)

それでは二次方程式を解いてみましょう。

(1)\(x^2-2x=0\)の式を因数分解します。
2次方程式を解くときは必ず右辺を0にします。1)どうしても左辺を0にして計算したいという時はそれでもOKです。ただ一般的には右辺を0にするほうが多いと思います。数学が苦手なお子さんの場合は右辺を0にするとやり方を決めてしまった方がやりやすいです。
もし右辺が0でない時は、右辺を0にするところからはじめましょう。
この式では右辺が0になっているので、左辺を因数分解します。

共通因数である\(x\)でくくります。
\(x(x-2)=0\)となるので、求める答えは\(x=0,2\)ということになります。
どうして二次方程式を因数分解すると解を導くことができるの?

(2)\(x^2+x-6=0\)を解きます。
左辺を因数分解します。
掛けて\(-6\)足して\(1\)となる数は、\(-2\)と\(3\)です。
このことから、\( (x-2)(x+3)=0\)となります。
求める答えは、\(x=2,-3\)と分かりました。

次に、(3)\(x^2-10x+25=0\)を解きます。
左辺を見ると、\(x\)の項の係数の\(-10\)を\(2\)で割り、2乗すると\(25\)になります。
このことから、\( (x-5)^2=0\)と言うことが分かります。
求める答えは\(x=5\)と言うことになります。2)この問題では\( x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)を使って因数分解をしていますが、もちろん\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)を使って因数分解することができます。掛けて\(25\)足して\(-10\)となる数を探します。これを満たす2数は\(-5\)と\(-5\)ということが分かります。因数分解をしてみると\( (x-5)(x-5)\)つまり\( (x-5)^2\)となります。

最後に(4)\(x^2-4=0\)を解きましょう。
2乗マイナス2乗3)この場合は\(x\)の2乗マイナス\(2\)の2乗と見ると因数分解しやすいです。になっているので、\( (x+2)(x-2)=0\)となり、求める答えは\(x=\pm2\)と分かります。

この問題の解き方は2次方程式の別の解き方もできます。
別の解き方で解いてみます。
定数項を右辺に移項します。
\(x^2=4\)となり、答えは\(x=\pm2\)と出すことができました。

まとめ

今回の記事では因数分解を使った2次方程式の解き方について書いてみました。
中学3年生の最初に習う因数分解ができていれば、特に難しいという点はないのではないでしょうか。
まれに、この先で習う解の公式があれば、それだけで全部解けますよね?という子がいますが、因数分解ができないということは今後の数学ができるかどうかに影響します。
もちろん解の公式を使えば、2次方程式の解を求めることができます。

しかし、後々因数分解を使わないと答えがどうしても出てこないという問題もあります。
めんどくさがらずにきちんと因数分解を使って2次方程式を解けるようにしましょう。
最初のうちは面倒に見える因数分解を使った解き方ですが、慣れてくると解の公式とは比べ物にならないくらいに楽に二次方程式の解を求めることができます。

References   [ + ]

1. どうしても左辺を0にして計算したいという時はそれでもOKです。ただ一般的には右辺を0にするほうが多いと思います。数学が苦手なお子さんの場合は右辺を0にするとやり方を決めてしまった方がやりやすいです。
2. この問題では\( x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)を使って因数分解をしていますが、もちろん\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)を使って因数分解することができます。掛けて\(25\)足して\(-10\)となる数を探します。これを満たす2数は\(-5\)と\(-5\)ということが分かります。因数分解をしてみると\( (x-5)(x-5)\)つまり\( (x-5)^2\)となります。
3. この場合は\(x\)の2乗マイナス\(2\)の2乗と見ると因数分解しやすいです。

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