二次方程式を因数分解すると解を求めることができるのはなぜ?

二次方程式を解くときには因数分解をよく使います。

しかし、意外と盲点となるのが、なぜ答えを求めることができるのかということ。

今回の記事では、二次方程式はなぜ因数分解をすることで答えを求めることができるのかということについて書いてみます。

 なぜ因数分解をすると二次方程式の解を求めることが出来るの?

例題を用いて考えましょう。

例題
次の二次方程式を解きましょう。
(1)\(x^2-2x-8=0\)
(2)\( (4x+7)(3x-11)=0\)

まずは、因数分解をして答えを出します。
(1)\(x^2-2x-8=0\)
\( (x-4)(x+2)=0\)
\(x=4,-2\)
となります。

\( (x-4)(x+2)=0\)と因数分解をした段階で\(x=4,-2\)ということはすぐに分かる子がほとんどだと思います。
しかし、この場合だと、\( (x-4)(x+2)=0\)の、-4と+2をみて答えを+4と-2と考えがちです。
二次方程式を因数分解を使った解法

実際に、上のように符号を入れ替えた数が解と思っている子が多いです。
これでも二次方程式の解は出てきますが、きちんとこのことには理屈があります。
この理屈は中学だけでなく高校でも使うので、理解して覚えておきたいところです。

因数分解で解が求められる理由

因数分解をした形は、二次方程式の場合だと2数の積になっていることがほとんどです。
\( (x-4)(x+2)=0\)の左辺は\( (x-4)\)と\( (x+2)\)の積になっています。
\( (x-4)\)を\(A\)、\( (x+2)\)を\(B\)とすると、\(A\times B=0\)ということになります。
\(A\times B=0\)の式が成り立つためには、\(A=0\)もしくは\(B=0\)にならないといけません。

\( (x-4)(x+2)=0\)の解を求めるには、\(x-4=0\)と\(x+2=0\)を計算して答えは\(x=4,-2\)となっていたということです。
こういう計算の結果、数の部分の符号が逆になっているように見えるのではないでしょうか。
このことをしっかり押さえておかないと答えが分かりにくいときがあります。
それが(2)の問題です。

それでは(2)を解いてみましょう。
(2)\( (4x+7)(3x-11)=0\)はすでに因数分解が終わっているので、後は解を出すだけです。
しかし\(x\)の項に係数があるため、単に数の符号を替えるだけでは解を求めることができません。
こんな時に先程の理屈が分かっていると容易に答えを出すことができます。

\( (4x+7)(3x-11)=0\)と因数分解をすることができたので、\(4x+7=0\)もしくは\(3x-11=0\)となることが分かります。
それぞれ計算すると、\(x=-\frac{7}{4}\)、\(x=\frac{11}{3}\)となります。

まとめ

今回の記事では、二次方程式はなぜ因数分解をすることで答えを求めることができるのかということについて書いてみました。
因数分解を用いた二次方程式の計算方法は、いつの間にか数の部分の符号を変えれば答えが出ると思ってしまっている子をよく見かけます。
もちろん、\(x\)の係数がない場合はその考え方でも問題ありません。
しかし\(x\)に係数がある状態になると一転、あと一歩で解を求められるのに解が出せないということになってしまいます。

実際中学校ではこの知識が必要になる問題は少ないです。
\(x\)に係数がつく二次方程式は、まれにしか見かけないと思います。
ただ、高校でも使う内容になるので、きちんと理解した上で二次方程式の解を求めることが出来るようにしておく方が安心です。
・方程式の解の意味って?

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