中学数学の二次方程式で出てくる解の公式の求め方を平方完成を使って証明!

中学で習う公式の中でも、見た目がややこしいという意味ではナンバーワンの公式が二次方程式の解の公式。

見た目は難しい公式ですが、解の公式を導くことができるようになると、メリットがあります。

今回の記事で、二次方程式の解の公式を導き方について解説したいと思います。

 中学生で習う二次方程式の解の公式の求め方を平方完成を使って証明!

解の公式を導いていきましょう。
まずは、2次方程式の一般式を考えます。
二次方式の一般式は、\(ax^2+bx+c=0\)です。
\(x^2\)の係数を1にするために両辺に\(\frac{1}{a}\)をかけます。1)二次方程式なので\(a\neq 0\)です。そのため\(\frac{1}{a}\)を掛けてもOKです。
\(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\)
次に平方完成をします。
平方完成のやり方はこちら

\( (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\)
二乗でくくった部分以外の項をまとめます。

\( (x+\frac{b}{2a})^2+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}=0\)
二乗でくくった部分以外の項を左辺に移項します。

\( (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
左辺の2乗の括弧をはずします。
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\(x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)2) \(A^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)とみて、計算しています。この時、分母の\( (4a)^2\)が\(2a\)になっていますが、この点は少し気を付けたほうがいいと思います。この場合は分子に\(\pm\)がついているので、問題にはなりませんが、\(\sqrt{4a^2}=2a\)と考えずに計算してしまうとダメな時もあるので気を付けましょう。

後は、左辺の\(\frac{b}{2a}\)を右辺に移項します。

\(x=\frac{-b}{2a}+\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
項をまとめます。

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
となり、解の公式を求めることができました。

まとめ

今回の記事で、二次方程式の解の公式を導き方について解説してみました。
二次方程式の解の公式を求める際の1つの難関が平方完成です。
この部分を乗り越えることができれば、解の公式を求めるのはそんなに難しくありません。
解の公式を求めることが難しい場合は、平方完成がうまくできないということが多いです。
まずは平方完成をしっかり出来るようになることで、解の公式は導けるようになります。

References   [ + ]

1. 二次方程式なので\(a\neq 0\)です。そのため\(\frac{1}{a}\)を掛けてもOKです。
2. \(A^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)とみて、計算しています。この時、分母の\( (4a)^2\)が\(2a\)になっていますが、この点は少し気を付けたほうがいいと思います。この場合は分子に\(\pm\)がついているので、問題にはなりませんが、\(\sqrt{4a^2}=2a\)と考えずに計算してしまうとダメな時もあるので気を付けましょう。