数学のルートの計算が分からない!平方根の掛け算ってどうするの?

ルートの基礎が分かれば、次はいよいよ計算ですね。

この記事では、平方根のかけ算のやり方の説明をしたいと思います。

 数学のルートの計算の掛け算ってどうやってするの?

早速、例題を使って平方根の掛け算の仕方をみていきましょう。

例題
次の計算をしましょう。
(1)\(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\)
(2)\(5\sqrt{2}\times \sqrt{3}\)
(3)\(5\sqrt{2}\times 7\sqrt{3}\)
(4)\(\sqrt{5}\times \sqrt{5}\)

ルートの掛け算のやり方はとても簡単です。
どんな風に計算すればいいかきちんとマスターしましょう。

(1)からみていきましょう。
平方根の乗法はとても簡単です。
普段通りのように、ルートの中身同士を掛け合わるだけでOKです。
つまり、(1)\(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\)の計算は、ルートの中身である、2と3をそのままかけ合わせればOKということです。
ルートの中身を掛け合わせて、答えは\(\sqrt{6}\)となります。
やり方そのものはとても簡単です。

次に、(2)\(5\sqrt{2}\times \sqrt{3}\)の計算をしてみましょう。
(1)の最初の\(\sqrt{2}\)に5が付きました。
こんなときはどのように考えればいいのでしょうか。

掛け算の計算では、ルートの中身同士をかけていいのでしたね。
今回も同じように考えればOKです。
ただし、\(\sqrt{2}\)に5がついたのでこの数の扱いが計算のポイントになります。
先程から「ルートの中身同士をかけていい」と言っていますが、この言葉の裏にはもう1つ意味があります。
それは「ルートの外にあるものと中にあるものは掛けてはいけない」ということです。

つまり、この問題の5という数とルートの中身はかけてはいけないということになります。
\(5\sqrt{2}\times \sqrt{3}\)を計算してみると、
\(=5\sqrt{2\times 3}\)
\(=5\sqrt{6}\)となります。
ルートの中身同士を掛け合わせればOKということですね。

(3)\(5\sqrt{2}\times 7\sqrt{3}\)をみていきましょう。
今度は\(\sqrt{3}\)に係数をつけてみました。
さっきから、\(5\sqrt{2}\)のようにルートに係数がついた形が出てきていますが、5と\(\sqrt{2}\)の間に何が省略されているか分かりますか。

\(3x\)の3と\(x\)の間に×が省略されているのと同じように、5と\(\sqrt{2}\)の間にも×が省略されています。
つまり、(3)の問題を省略せずに書くと、
\(5\times \sqrt{2}\times 7\times \sqrt{3}\)と書くことができます。
掛け算は順番を変えてもいいので、
\(5\times 7 \times \sqrt{2}\times \sqrt{3}\)と書き換えると計算しやすいかもしれません。
答えは\(35\sqrt{6}\)となります。
ルートの中身と外を掛けると考えておいて問題ありません。

最後に(4)\(\sqrt{5}\times \sqrt{5}\)をみていきましょう。
ルートの中身同士を掛ければいいので、答えは\(\sqrt{25}\)となりそうですよね。

もちろん、これで間違いという訳ではありません。
しかし、多くの場合、減点もしくは不正解という0点という扱いになってしまうことがほとんどです。1)とある私立高校の採点基準でこれでも正解と扱うと明確にされていた高校がありました。ただ一般的にはルートの中身はなるべく小さな数にするというのが暗黙の了解なので、ルートの中身はなるべく小さな数にするのが安全です。
この問題はルートの定義がきちんと理解できていれば計算をしなくても容易に答えが分かります。
平方根のイメージがつかない!ルートってどんな数なの?

\(\sqrt{5}\)の意味は、2回かけると5になる数という意味になります。
つまり、\(\sqrt{5}\times \sqrt{5}\)というのは、\(\sqrt{5}\)を2回掛けているので、5ということになります。
きちんと、定義が分かっていれば見ただけで、答えを出すことができますね。
また、このことをきちんと理解しておくことで、ルートの中身の数が大きくなることを防ぐことができ、計算ミスの防止にもなります。

まとめ

今回は、平方根の掛け算について書いてみました。
計算そのものはそんなに難しいものではないので、1つずつきちんとしていくとできると思います。
まずは、ルートの中身同士を掛ければ計算できると覚えておけばそんなに困ってしまうという事態にはならないと思います。
係数は係数同士をかければOKです。

References   [ + ]

1. とある私立高校の採点基準でこれでも正解と扱うと明確にされていた高校がありました。ただ一般的にはルートの中身はなるべく小さな数にするというのが暗黙の了解なので、ルートの中身はなるべく小さな数にするのが安全です。

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